정의역(定義域, 영어: domain), 치역(値域, 영어: range)

정의역(定義域, 영어: domain) : 수학에서, 어떤 함수의 정의역(定義域, 영어: domain)은 그 함수의 값이 정의된 집합이다.

수학에서, 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$는 집합 ${\displaystyle X}$의 각 원소에 대하여 ${\displaystyle Y}$의 한 원소를 대응시키는 수학적 대상이다. 이 경우 ${\displaystyle X}$를 ${\displaystyle f}$의 정의역이라고 한다. 반면, ${\displaystyle Y}$는 ${\displaystyle f}$의 공역이다.

예를 들어, 함수 ${\displaystyle y}$=1.5${\displaystyle x}$에 대해 변수 ${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$가 각각 ${\displaystyle X}$={1, 2, 3}, ${\displaystyle Y}$={1.5, 3, 4.5} 의 원소라고 할 때, 집합 ${\displaystyle X}$를 함수 ${\displaystyle y}$=1.5${\displaystyle x}$의 정의역이라고 할 수 있다.

${\displaystyle y=1.5x(1\leqq x\leqq 3)}$

치역(値域, 영어: range) : 수학에서 함수의 치역(値域, 영어: range)이라고 하는 것은 함수의 모든 "출력"값의 집합이다. 다시 말해, 정의역의 상이다

정의역이 ${\displaystyle X}$, 공역이 ${\displaystyle Y}$인 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$의 치역 ${\displaystyle \operatorname {ran} f}$은 다음과 같은 공역의 부분집합이다.

${\displaystyle \operatorname {ran} f=f(X)=\{f(x)\colon x\in X\}\subset Y}$

치역과 공역이 같은 함수를 전사 함수라고 한다. 일반적으로 치역은 공역과 다르다. 치역은 공역의 부분집합이지만 공역의 모든 원소들이 치역의 원소일 필요는 없다.

실수 집합에서 실수 집합으로 가는 함수 ${\displaystyle f}$가 다음과 같이 정의된다고 하자.

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f\colon x\mapsto x^{2}}$

이 경우, ${\displaystyle f}$의 공역은 ${\displaystyle \mathbb {R} }$이고, ${\displaystyle f}$의 치역은 구간 ${\displaystyle [0,\infty )}$이다. 따라서 ${\displaystyle f}$는 전사 함수가 아니다.

실수 집합에서 실수 집합으로 가는 함수 ${\displaystyle g}$가 다음과 같이 정의된다고 하자.

${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle g\colon x\mapsto 2x}$

이 경우, ${\displaystyle g}$의 공역과 치역 둘 다 ${\displaystyle \mathbb {R} }$이다. 따라서 ${\displaystyle g}$는 전사 함수이다.

참고 : 

https://ko.wikipedia.org/wiki/치역

https://ko.wikipedia.org/wiki/정의역